「完全に公平な選挙」は数学的に不可能、地域代表・得票比例・議席数の3条件を同時に満たせないことが判明

「地元で最多得票となった候補者が当選する」「全国の得票率に応じて各政党へ議席が配分される」「議会の定員も変えない」という公平に見える3条件をあらゆる選挙結果で常に保証する選挙制度は数学的に作れないことが証明されました。ケンブリッジ大学とコペンハーゲン大学の研究チームによると、補正議席数に対して政党数が十分に多くなった場合は「地域代表」「得票に比例した議席配分」「固定された議席数」のどれかを諦める必要があるとのことです。

Impossibility theorem for two-tier electoral systems | Annals of Operations Research | Springer Nature Link
https://link.springer.com/article/10.1007/s10479-026-07344-1

Mathematicians prove perfectly fair elections are impossible | ScienceDaily
https://www.sciencedaily.com/releases/2026/08/260801042812.htm

ある政党が多くの選挙区で51％対49％の僅差で勝ち、別の政党が少数の選挙区で80％の票を集めて圧勝したとします。小選挙区では勝敗の差にかかわらず1位の候補者だけが議席を得るため、僅差の勝利を広い地域で重ねた政党は、全国の得票率を上回る割合の議席を獲得する場合があります。特定の政党に有利になるよう選挙区を区切ることで、全国での得票率が低い政党でも過半数の議席を獲得することも可能です。

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全国の得票率に合わせて政党に議席を配分する場合、議席が不足している政党へ追加議席を与える必要がありますが、議席数を固定すると追加できる数には限界があります。研究チームが示した不可能性定理では、複数の選挙区があり、補正議席に対して政党数が十分に多くなると、3条件の少なくとも1つを満たせなくなります。

3条件が衝突する事例自体は直感的に想像できますが、研究チームの成果は特定の国や選挙方式だけに起きる問題ではないと数学的に証明した点にあります。地域代表・比例性・固定された議席数を明確に定義し、配分方法を工夫してもあらゆる選挙結果で3条件を保証する制度は存在しないと示すことで、個別制度の設計ミスではなく選挙制度そのものに内在する限界を明らかにしたというわけです。

実際の例では、デンマークの2022年総選挙において40の補正議席だけではずれを解消できず、社会民主党が得票に対応する数より1議席多く獲得しています。議席数のずれはわずか1議席でしたが、左派陣営が右派陣営より少ない票で議会の多数派になる結果につながったとのこと。ドイツでは地域の当選者と比例性を両立させるため議席数が増え続け、2021年には基準となる598議席を大きく上回る736議席となりました。

研究チームは比例性を優先する方法として「Geographically Ranked Guaranteed Proportionality」を提案しています。全国の得票数から各政党の総議席数を先に決めた後、各政党の地域ごとの得票成績を順位付けし、上位の地域から議席を割り当てる仕組みです。全国での比例的な議席配分を保証しながら、地域ごとの選挙結果にできる限り沿う形で議席を配分します。

ただし政党に割り当てられた議席が埋まっていれば、選挙区で最多得票となった候補者でも落選する可能性があります。比例性と議席数を守る代わりに、地域での勝利が必ず議席につながることは保証しない方式です。

研究チームは「地域代表・比例性・固定された議席数を全て保証することは不可能」と述べつつも、「3条件をおおむね満たす制度は実現できる」と訴えました。選挙制度に求められるのは完全な公平さではなく、何を優先し、どの不公平を受け入れるのかを明確にすることだと述べられています。