あの「バタフライ効果」が実際にどういう感じか視覚的に理解できる「Strange Attractors」、パラメーターのわずかな変化をThree.jsで3D視覚化

初期状態にわずかな変化を与えることでその後の状態が大きく変化してしまう現象を「バタフライ効果」と呼びます。このバタフライ効果を3Dグラフィックスライブラリである「Three.js」を使ってブラウザ上で簡単に体感できるウェブアプリ「Strange Attractors」を、開発者のShashank Tomar氏が公開しています。

Strange Attractors | Shashank Tomar
https://blog.shashanktomar.com/posts/strange-attractors

Strange Attractorsにアクセスするとこんな感じ。無数の点が集まって立方体を構成しています。通常、点の振る舞いを微分方程式で定義することで位相空間上に描かれる軌跡、すなわちアトラクターはある1点に収束したり発散したりします。しかし、中には不思議な図形を描くようなアトラクターも存在し、これを「ストレンジアトラクター」と呼びます。

右下にある2つのボタンのうち、右にある再生ボタンをクリックするとアニメーションが再生され、時間経過で各点の座標が変化します。左の矢印ボタンで、アニメーションを最初からリプレイできます。

ストレンジアトラクターは左側にあるメニューから選択できます。

「More information」をクリックすることで、微分方程式の詳細を見ることが可能。

「Thomas」は、ベルギーの生物学者・数理学者であるルネ・トーマが提唱したストレンジアトラクターで、「dx＝(-ax＋sin(y))dt」「dy＝(-ax＋sin(z))dt」「dz＝(-ax＋sin(x))dt」という微分方程式で描かれます。

この微分方程式の中で使われる定数aの値を変えることで、ストレンジアトラクターの形が変化します。アメリカの気象学者であるエドワード・ローレンツが提唱したカオス理論は、「一見するとシンプルな方程式でも、初期値として与えられた定数が少しでも変わると、最終的な結果は解析的に予測不可能になる」という考え方。「バタフライ効果」はこのカオス理論の予測困難性を示す現象を意味します。

「Particle Count」は表示される点の数。ただし、増やすとCPUとGPUによる演算量が増えるので、PCの性能によっては動作が遅くなります。

点の初期値を決める「Initial State」は、「Cube」と「Sphere Sarface」の2種類から選べます。「Sphere Sarface」の場合は点が球体の表面を構成します。

「Aizawa」はAizawaアトラクターで、渦を描くような形状が特徴。定数はa・b・cの3種類存在します。

「Color」では点に色をつけることが可能。以下で表示されているのは、カオス理論の提唱者であるローレンツが最初に研究した微分方程式が描くローレンツアトラクターです。

なお、開発者のTomar氏によれば、「Strange Attractors」ではストレンジアトラクターの軌道を描くために、膨大な数の粒子(パーティクル)をリアルタイムで計算して描画しているとのこと。これを効率的に行うために「ピンポンレンダリング」という技術が使われています。

通常、CPUが粒子の次の位置を計算し、そのデータをGPUに送って描画しますが、粒子が数百万個にもなると、このデータ転送がボトルネックになります。ピンポンレンダリングでは、CPUとのデータのやり取りをなくすため、GPUの中にAとBという2つのデータ置き場を用意し、Aのデータを読み込んで計算し、結果をBに書き込みます。 次に、Bのデータを読み込んで計算し、結果をAに書き込みます。このAとBの役割を卓球のように素早く入れ替え続けることで、大量の粒子計算を高速で処理することが可能になるそうです。