OpenAIが80年近く未解決だった数学予想の反証に成功、人間の数学者も「AIが補助役を超えた」と驚く発見

OpenAIは2026年5月20日、同社の内部AIモデルが離散幾何の中心的な未解決問題「単位距離問題」に関する長年の予想を反証したと発表しました。単位距離問題は「平面上にn個の点を置いたとき、距離がちょうど1になる点のペアを最大でいくつ作れるのか」という問題です。

An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry | OpenAI
https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/

OpenAIのモデルを使った数学研究の事例はこれまでも報じられており、2026年4月23日にリリースされたChatGPT 5.5 Proは博士課程レベルの研究を1時間で行ったことが話題になりました。今回はOpenAIの内部モデルを使用して、さらに上のレベルの研究を行うことに成功したというわけです。

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今回AIが取り組んだ「単位距離問題」は数学者ポール・エルデシュが1946年に提起した問題で、OpenAIは「組合せ幾何で最もよく知られ、説明しやすい問題の1つ」としています。単位距離問題は問題文が非常に短い一方で、解決が極めて難しいとのこと。

単位距離問題において一番単純な形としてn個の点を一直線上に並べる場合を考えると、隣り合う点どうしでn−1個の単位距離ペアを作れます。また、方眼紙の交点のような正方格子に点を置くと、単位距離ペアの数はおよそ2n個になります。さらに、正方格子を拡大・縮小して調整する既知の構成では、nよりわずかに速い増え方を実現できるとのこと。

以下はリスケールされた正方格子による従来の構成を示す画像。黒い点が平面上の点、線が距離1の点のペアを表しており、正方格子をもとにした構成でも非常に多くの単位距離ペアを作れることが分かります。

従来の正方格子系の構成では、単位距離ペアの数が少なくともnの(1＋C/loglog(n))乗になることが知られていました。Cはnの大きさに依存しない固定の正の定数で、数論的な構成から得られる補正項の強さを表すために使われます。loglog(n)は、nが大きくなるにつれて非常にゆっくり増えるため、指数部分のC/loglog(n)は次第に0へ近づきます。つまり、正方格子系の構成はnより少しだけ速く増えるものの、「nを固定された割合で超えるほど強い増え方」ではなかったというわけです。

そのため、数学者の間では長年にわたり、単位距離ペアの最大数u(n)の上界はnの1＋o(1)乗程度に抑えられるだろうと予想されてきました。o(1)はnが大きくなるほど0に近づく量を表すランダウの記号のスモールオーで、nの1＋o(1)乗は「nより少しだけ大きい程度」という意味合いです。

OpenAIの内部AIモデルは、無限個のnに対して少なくともnの(1＋δ)乗個の単位距離ペアを持つ点配置を構成できることを示しました。これは、単位距離ペアの最大数がnの(1＋o(1))乗程度に抑えられるという従来の上界予想を上回る構成例であり、予想を反証したことになります。δは0より大きい固定値であり、nが大きくなっても消えない改善幅を意味します。

OpenAIによると、AIモデルが最初に生成した証明ではδの具体的な値は示されていませんでしたが、プリンストン大学の数学者ウィル・ソーウィン氏による改良によりδ=0.014と取れることが示されたとのこと。これまで単位距離問題の下界はエルデシュの1946年の構成以来ほぼ変わっておらず、今回の発見で80年ぶりに下界が更新されたというわけです。なお、上界については1984年のスペンサー、セメレディ、トロッターによるO(nの4/3乗)という結果が本質的に変わらず残っているとのこと。

今回の発見はOpenAIが内部でテストしていた汎用推論モデルによって導き出されました。当該モデルは全般的な問題に対処するように設計されたモデルであり、数学専用AIではありません。OpenAIは発見の経緯を「高度な汎用推論モデルが最先端研究に貢献できるかを調べる取り組みの一環として、エルデシュ問題の集合で評価していたところ、単位距離問題の未解決予想を反証する証明が出力された」と説明しています。証明は外部の数学者グループによって確認され、背景や意義を説明する付随論文も作成されています。

以下は単位距離問題におけるAIモデルのテスト時の正答率を示す画像。横軸はテスト時に使う計算量の対数、縦軸は1回の回答で正解に到達できた割合を表しており、テスト時の計算量を増やすほど正答率が上昇していることが分かります。

証明の内容では、初等的に見える幾何の問題に代数的整数論の高度な道具が使われています。OpenAIはエルデシュによる従来の下界構成は、虚数単位iを使用してa＋biという形で表される「ガウス整数」を使って理解できると説明しています。

新しい証明ではガウス整数より複雑な代数的数体を利用し、単位長の差をより多く作り出せる豊かな対称性を引き出しているとのこと。さらに、代数的数体の構造や存在を調べるための専門的な理論である無限類体塔やゴロド・シャファレヴィッチ理論といった道具を使い、証明に必要な数体が実際に存在することを示しています。OpenAIは、代数的整数論では知られていた概念がユークリッド平面上の幾何問題に影響を及ぼすことは驚きだったとしています。

外部の数学者からも反応が寄せられています。プリンストン大学の組合せ数学者ノガ・アロン氏は、単位距離問題をエルデシュが好んだ問題の1つと表現し、OpenAIの内部AIモデルによる解決を長年の未解決問題を決着させる傑出した成果だと述べています。また、フィールズ賞受賞者のティム・ガワーズ氏は、付随論文の中でAI数学におけるマイルストーンだと評価しています。数論研究者のアルル・シャンカール氏は、現在のAIモデルが人間数学者の補助役を超え、独創的なアイデアを生み出して実行できることを示していると述べています。

OpenAIは「数学の問題は定式化が正確であり、証明は検証可能であり、長い議論は最初から最後まで論理がつながっていなければ成立しないため、数学がAIの推論能力を測る明確な試験場になる」とも説明しました。OpenAIは今回の成果について、AIが単なる解答を出しただけでなく、離れた分野のアイデアを接続して数学的発見を生み出した例だと述べています。

OpenAIは「より強い数学的推論能力を持つAIが研究者にとって強力なパートナーになり得る」としています。複雑な議論を一貫して扱い、遠く離れた知識分野を結び付け、専門家が優先していなかった有望な道筋を提示できる能力は、数学だけでなく生物学や物理学、材料科学、工学、医学などにも関係するとのこと。一方で、OpenAIは人間の判断の重要性も強調しており、AIは探索、提案、検証を支援できるものの、重要な問題を選び、結果を解釈し、次に追求すべき問いを決める役割は人間に残ると述べています。