レゴブロックで負荷をかけずに最適な円形の線路を作るための議論が行われる

ブロック玩具ブランド「レゴ」は、1歳半からの幼児用に扱いやすい大きなサイズのシリーズ「デュプロ」を販売しています。子どもがデュプロのレールを使って線路を作ったという父親が、最も最適なレールの配置方法について議論を行っています。

mathematics - Is this duplo train track under too much tension? - Puzzling Stack Exchange
https://puzzling.stackexchange.com/questions/122232/is-this-duplo-train-track-under-too-much-tension

Lezzup氏の子どもたちがデュプロのレールを用いて作った線路の画像が以下。Lezzup氏によると、この線路は曲線レールと直線レールの2種類だけで構築されているとのこと。

Lezzup氏の子どもたちが使った曲線レールは、12本でループ状の線路を作ることができるというもの。ただし、子どもたちは13本の曲線レールを使っていました。

13本の曲線レールを用いてループ状の線路を作る場合、一部の曲線レールを力ずくではめ込まなければならず、各レールに過度な負荷がかかってしまいます。

レールに負荷がかかって位置ずれを起こした場合、最悪の場合レールが変形または破損してしまうことが指摘されています。

そこでLezzup氏は、質問掲示板「Puzzling」に「レールに負荷がかかっているかどうかを素早く確認する方法があるか」「曲線または直線レールを1本取り除く必要がある場合、どのレールが最適か」「レールを1本追加する必要がある場合、どの場所に挿入するのが最適か」といった質問を投稿しました。

Lezzup氏の質問に対し、2012rcampionというユーザーが回答。「レールに負荷がかかっているか」について2012rcamipon氏は、各レールの始点から終点までのベクトルを合計し、ベクトルの合計がゼロかどうかをチェックすることで、レールに負荷がかかっていないと判定できると主張。2012rcampion氏によると「三角法」を用いた計算で負荷の有無を計算できるとのこと。

また、Weather Vane氏による回答では、各レールの負荷をチェックするための方法として、曲線レールが12本あるときに、「各直線レールの角度を測定し、それらの正弦の合計が0かつ余弦の合計が0である場合、負荷がかかっていない」ことを示しています。

2012rcampion氏による計算の結果、線路内のレールのベクトルの合計を算出するための計算式は(4.5−3√3−2+0.5√3)だそうです。Lezzup氏の子どもたちが作った線路のベクトルを計算したところ、合計が0ではないことが明らかになりました。つまり、レールに負荷がかかっているというわけ。なお、2012rcampion氏は負荷がかからなかった場合のレールの形状を図で示しており、それが以下の図。レールに負荷がかかっていなかった場合、線路のループは途切れてしまうわけです。

さらに2012rcampion氏は追加・撤去すべきレールについて以下の画像で説明しています。2012rcampion氏によると、赤枠で囲まれた部分の曲線レールを取り除き、「Add straight」で示された部分に直線レールを追加すべきとのこと。

適切にレールの追加・撤去を行うことで、負荷の少ないループした線路が作れるようになります。